Nous avons vu comment agréger deux ou plus de critères dans le cadre d’un classement d’objets géographiques ( SIG et aide à la décision (4): un outil pour agréger des critères flous avec ArcMap). La méthode employée nécessite que les critères soient perçus par le décideur comme étant d’égale importance. Nous verrons dans cet article les bases théoriques pour répondre à des critères d’importance inégale.
Pour déterminer la méthode d’agrégation à utiliser entre deux critères, on propose à l’utilisateur d’évaluer trois situations:
- La première question (S1) propose une valeur très mauvaise pour le premier critère et une valeur excellente pour le deuxième critère.
- La deuxième question (S2) propose deux valeurs moyennes pour les deux critères.
- La troisième question (S3) propose une valeur moyenne pour le premier critère et une valeur excellente pour le deuxième.
Le triplet de réponses est alors utilisé comme clé d’entrée dans une table de méthodes d’agrégation comportant 50 réponses (triplets) possibles.
Une des contraintes de cette méthode est que les deux critères aient une importance équivalente, c’est à dire que les réponses aux trois questions soient les mêmes, quel qu’il soit l’ordre des critères. On parle alors de « symétrie » des réponses.
Deux critères ont la même importance si la fonction d’agrégation est symétrique, c’est à dire si la réponse aux trois questions d’évaluation est la même si l’on inverse l’ordre des critères.
Par exemple, dans le cas du choix d’une voiture, si on considère le critère « couleur » et les critère « prix », on peut construire la première question de deux façons:
- a) une couleur totalement incompatible (E) et un prix complètement compatible (A) si on prend C1=couleur et C2= prix, ou alors
- b) un prix complètement incompatible (E) et une couleur complètement compatible (A) si on prend C1=prix et C2= couleur.
Si les deux critères ont la même importance, la réponse à cette question sera la même dans les deux cas. Ce qui apparaîtra au travers de cette réponse c’est la manière subjective d’agrégation des deux critères (conjonction ou disjonction) ou le mécanisme sous-jacent de compromis que le décideur utilise.
Par contre, si un des deux critères a une importance plus grande que l’autre, la symétrie ne se vérifiera pas. Dans notre exemple il ne serait pas anormal de répondre plutôt « bon » si le prix correspond à nos attentes et pas la couleur et « médiocre » si la couleur nous satisfait mais pas le prix.
Dans ce cas, la table d’opérations d’agrégation n’est plus valable.
Le concept d’importance d’un critère par rapport à un autre a été fort peu élucidé jusqu’à présent. Le sens que l’on donne à ce mot est très variable selon les décideurs ou selon les situations.
Contrairement à l’agrégation de critères d’égale importance, pour lesquels on trouve les développements des calculs dans la littérature, il fallait développer une méthode pour traiter l’agrégation de critères d’importance inégale.
Énoncé du problème
Comment enrichir la liste des Questions SI, S2, S3 avec le nombre le plus petit de nouvelles questions pour déterminer :
- si la fonction d’agrégation est symétrique ou non, et par conséquent si on peut utiliser la table d’opérations d’agrégation d’objectifs d’égale importance;
- si la fonction n’est pas symétrique, quel est le poids relatif de chaque critère C1 et C2?
Solution proposée.
Nous avons S1(E,A), S2(C,C), S3(C,A). On propose d’ajouter S4(A,E), c’est à dire la question symétrique à S1 comportant une proposition totalement compatible avec le critère C1 et une autre totalement incompatible avec le critère C2.
Toutes les réponses formant un doublet S1 ,S4 (AA,BB,CC,DD,EE) renvoient au traitement de critères d’égale importance.
Les doublets (A,E) et (E,A) correspondent à un cas particulier où le poids d’un critère est égal à 0, l’agrégation n’est pas nécessaire car le résultat est égal à C1 dans le cas de (A,E), ou à C2 dans le cas de (E,A).
Pour les autres doublets possibles il est nécessaire de déterminer quelle opération d’agrégation peut-on utiliser, avant de déterminer les poids à appliquer.
Parmi les opérations d’agrégation, min, max et les sommes symétriques ne peuvent s’appliquer que sur des critères symétriques, et donc elles doivent être éliminées d’office.
Parmi les opérations de moyenne, seule la moyenne arithmétique peut donner un résultat différent de 0 dans le cas où l’un des critères est 0 (√xy = 0 et 2xy/(x+y)=0 si x=0 ou y=0).
On retiendra donc la moyenne arithmétique comme opération d’agrégation sous la forme
(Px.x+Py.y)/(Px+Py )
Px et Py étant les poids respectifs des critères C1 et C2.
Dans le cas des doublets (D,B) et (B,D) il est facile de démontrer que les poids doivent être 3 et 1 pour (D,B) et 1 et 3 pour (B.D).
Il n’y a pas d’autres doublets possibles (DC,DA,…) si Px et Py sont constants. Les autres doublets supposent que Px=f(x) et Py =f(y).
On peut conclure que la pondération des objectifs n’est nécessaire que pour un nombre de classes supérieur à trois, et ne peut s’appliquer par exemple à un critère qui serait: bon, moyen, mauvais. Dans ce cas on serait toujours dans le domaine d’une fonction symétrique.
Dans le cas de n=5, seul le facteur de pondération 3 – 1 est utilisable, si l’on se tient à un raisonnement proche de l’attitude d’un décideur humain.
Solution pratique
Il y a 25 combinaisons possibles de réponse à la question S4, symétrique de S1. Nous les avons divisées en 5 groupes :
- Réponses confirmant l’égale importance des deux critères : cinq combinaisons, les doublets AA, BB, CC, DD et EE. La formule d’agrégation est recherchée dans la table des 50 triplets en ignorant la réponse S4.
- Réponses démontrant la non prise en compte du tout d’un critère : deux combinaisons, les doublets AE et EA. Le résultat de l’agrégation est directement la valeur du critère pris en compte, en ignorant la valeur de l’autre critère.
- Les réponses où l’écart entre S1 et S4 est de 0,5 et qui impliquent un poids différent des deux critères (poids 1 et 3) : six combinaisons, les doublets AC, BD, CA, CE, DB et EC. On utilise les poids de 1 et 3 pour les critères en entrée et la moyenne arithmétique.
- Des réponses qui s’approchent d’une égale importance des critères, mais nuancées. L’écart entre les réponses est de 0,25 : six combinaisons, les doublets AB, BA, BC, CB, DC et CD. La formule d’agrégation est recherchée dans la table des 50 triplets en ignorant la réponse S4, puis on nuance le résultat obtenu de 0,25 du critère plus important.
- Les réponses qui s’approchent de la non prise en compte d’un des deux critères. L’écart entre les deux réponses est de 0,75 : six combinaisons, les doublets AD, BE, ED, DA, DE et EB. Le résultat de l’agrégation sera le critère considéré comme important, nuancé de 0,25 du critère moins important.
Le tableau suivant détaille les 25 combinaisons et les formules d’agrégation utilisées.
Dans le prochain article nous verrons une commande ArcMap permettant d’effectuer cette agrégation de critères d’importance inégale.
